Question

[Trần Ngọc Hà]

1,Tìm a\(\in\Sigma\),biết:

\(\left(a^2-1\right)\left(a^2-4\right)\left(a^2-7\right)\left(a^2-10\right)< 0\)

2,Tìm GTNN của các biểu thức:

a,A\(=\)\(x^4+3x^2+2\)

b,B\(=\left(x^4+5\right)^2\)

c,C\(=\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2-2\)

3,Tìm GTLN của các biểu thức:

a,A\(=5-3\left(2x-1\right)^2\)

b,B\(=\frac{1}{2\left(x-1\right)^2+3}\)

c,C\(=\frac{x^2+8}{x^2+2}\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Câu 2:

a) Ta có: \(x^4\ge0\forall x\)

\(3x^2\ge0\)

Do đó: \(x^4+3x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow x^4+3x^2+2\ge2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi

\(x^4+3x^2=0\Leftrightarrow x^2\left(x^2+3\right)=0\)

Vì \(x^2\ge0\forall x\)

nên \(x^2+3\ge3>0\forall x\)

Do đó: \(x^2=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy: GTNN của biểu thức \(A=x^4+3x^2+2\) là 2 khi x=0

b)\(B=\left(x^4+5\right)^2\)

Ta có: \(x^4\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow x^4+5\ge5\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x^4+5\right)^2\ge25\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi

\(x^4+5=5\Leftrightarrow x^4=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy: GTNN của biểu thức \(B=\left(x^4+5\right)^2\) là 25 khi x=0

c) \(C=\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2-2\)

Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\left(y+2\right)^2\ge0\forall y\)

Do đó: \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2-2\ge-2\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y+2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy: GTNN của biểu thức \(C=\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2-2\) là -2 khi x=1 và y=-2

Câu 3:

a) \(A=5-3\left(2x-1\right)^2\)

Ta có: \(A=5-3\left(2x-1\right)^2=-3\left(2x-1\right)^2+5\)

Ta có: \(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-3\left(2x-1\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-3\left(2x-1\right)^2+5\le5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi

\(\left(2x-1\right)^2=0\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow2x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy: GTLN của biểu thức \(A=5-3\left(2x-1\right)^2\) là 5 khi \(x=\frac{1}{2}\)

b) \(B=\frac{1}{2\left(x-1\right)^2+3}\)

Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2+3\ge3\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2\left(x-1\right)^2+3}\le\frac{1}{3}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi

\(\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy: GTLN của biểu thức \(B=\frac{1}{2\left(x-1\right)^2+3}\) là \(\frac{1}{3}\) khi x=1

c) \(C=\frac{x^2+8}{x^2+2}\)

Ta có: \(C=\frac{x^2+8}{x^2+2}=\frac{x^2+2+6}{x^2+2}=1+\frac{6}{x^2+2}\)

Ta có: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+2\ge2\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{6}{x^2+2}\le3\forall x\)

\(\Rightarrow1+\frac{6}{x^2+2}\le4\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi

\(x^2=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(C=\frac{x^2+8}{x^2+2}\) là 4 khi x=0